微信公众号可以做几个微网站,高中学校网站模板,wordpress换域名插件,如何使用mysql数据库做网站从零开始傅里叶变换 1 Overview2 傅里叶级数2.1 基向量2.2 三角函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)2.2.1 三角函数系的正交性2.2.2 三角函数系的系数 2.3 复指数函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)2.3.1 复指数函数系的系数2.3.2 复指数函数系的正交性 2.4 傅里叶级数总结 3 傅里叶变换… 从零开始傅里叶变换 1 Overview2 傅里叶级数2.1 基向量2.2 三角函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)2.2.1 三角函数系的正交性2.2.2 三角函数系的系数 2.3 复指数函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)2.3.1 复指数函数系的系数2.3.2 复指数函数系的正交性 2.4 傅里叶级数总结 3 傅里叶变换 1 Overview
Motivation从时域转换到频域。相当于提取了信号的频率特征可以做进一步的处理和分析。 对于时域内的一个信号 f ( t ) f(t) f(t) 可以通过傅里叶变换得到频域函数 F ( ω ) F(\omega) F(ω)同样也可以从频域转化为时域。
傅里叶变换 F ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ e − i ω t d t F(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t F(ω)∫−∞∞f(t)⋅e−iωt dt 傅里叶逆变换 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega f(t)2π1∫−∞∞F(ω)eiωt dω
2 傅里叶级数
傅里叶级数任意周期性函数波形都可以表示成多个正余弦函数的线性组合。 f ( t ) a 0 2 a 1 cos ( ω t ) b 1 sin ( ω t ) a 2 cos ( ω t ) b 2 sin ( ω t ) ⋯ a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( n ω t ) b n sin ( n ω t ) ) \begin{align*} f(t)\frac{a_0}{2}a_1\cos(\omega t)b_1\sin(\omega t)a_2\cos(\omega t)b_2\sin(\omega t)\cdots\\ \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t)b_n \sin(n\omega t))\\ \end{align*} f(t)2a0a1cos(ωt)b1sin(ωt)a2cos(ωt)b2sin(ωt)⋯2a0n1∑∞(ancos(nωt)bnsin(nωt)) 其中 a n 2 T ∫ t 0 t o T f ( t ) cos ( n ω t ) d t b n 2 T ∫ t 0 t o T f ( t ) sin ( n ω t ) d t a_n \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_oT}f(t)\cos(n\omega t)\text{d}t\\ b_n \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_oT}f(t)\sin(n\omega t)\text{d}t\\ anT2∫t0toTf(t)cos(nωt)dtbnT2∫t0toTf(t)sin(nωt)dt
2.1 基向量
为什么一个周期性函数波形可以表示成多个正余弦函数的线性组合 Recall 空间中的基向量 M M M 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q { q 1 , q 2 , ⋯ , q M } \mathbf Q\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q{q1,q2,⋯,qM} 的线性组合 v x 1 q 1 x 2 q 2 ⋯ x M q M \mathbf vx_1\mathbf q_1x_2\mathbf q_2 \cdots x_M \mathbf q_M vx1q1x2q2⋯xMqM这 M M M 个基向量两两正交 q i ⊤ q j 0 , ( i ≠ j ) \mathbf q_i^\top\mathbf q_j0,\ \ (i\ne j) qi⊤qj0, (ij) Recall 正交函数 将函数看作向量连续函数也就是一个维度 M ∞ M\infty M∞ 的向量。即一个在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有定义的实函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以表示为一个 M M M 维的向量 f \mathbf f f f ( x ) f ( f ( a ) , f ( a Δ x ) , f ( a 2 Δ x ) , ⋯ , f ( a ( M − 1 ) Δ x ) ) f(x)\mathbf f (f(a),f(a\Delta x),f(a2\Delta x),\cdots,f(a(M-1)\Delta x)) f(x)f(f(a),f(aΔx),f(a2Δx),⋯,f(a(M−1)Δx))。其中 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0 且 b a ( M − 1 ) Δ x ba(M-1)\Delta x ba(M−1)Δx 根据上文中提到的 M M M 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q { q 1 , q 2 , ⋯ , q M } \mathbf Q\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q{q1,q2,⋯,qM} 的线性组合 那么 f \mathbf f f 可以由 M M M 个 M M M 维的正交向量表示基向量找到基向量 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 \mathbf g_0, \mathbf g_1,\cdots,\mathbf g_{M-1} g0,g1,⋯,gM−1 表示为函数 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,⋯,gM−1 g 0 g 0 ( x ) ( g 0 ( a ) , g 0 ( a Δ x ) , g 0 ( a 2 Δ x ) , ⋯ , g 0 ( a ( M − 1 ) Δ x ) ) g 1 g 1 ( x ) ( g 1 ( a ) , g 1 ( a Δ x ) , g 1 ( a 2 Δ x ) , ⋯ , g 1 ( a ( M − 1 ) Δ x ) ) ⋯ g M − 1 g M − 1 ( x ) ( g M − 1 ( a ) , g M − 1 ( a Δ x ) , g M − 1 ( a 2 Δ x ) , ⋯ , g M − 1 ( a ( M − 1 ) Δ x ) ) \begin{align*} \mathbf g_0 g_0(x)(g_0(a),g_0(a\Delta x),g_0(a2\Delta x),\cdots,g_0(a(M-1)\Delta x))\\ \mathbf g_1 g_1(x)(g_1(a),g_1(a\Delta x),g_1(a2\Delta x),\cdots,g_1(a(M-1)\Delta x))\\ \cdots\\ \mathbf g_{M-1} g_{M-1}(x)(g_{M-1}(a),g_{M-1}(a\Delta x),g_{M-1}(a2\Delta x),\cdots,g_{M-1}(a(M-1)\Delta x))\\ \end{align*} g0g1gM−1g0(x)(g0(a),g0(aΔx),g0(a2Δx),⋯,g0(a(M−1)Δx))g1(x)(g1(a),g1(aΔx),g1(a2Δx),⋯,g1(a(M−1)Δx))⋯gM−1(x)(gM−1(a),gM−1(aΔx),gM−1(a2Δx),⋯,gM−1(a(M−1)Δx)) 可以得出 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,⋯,gM−1 是两两正交的函数也就是 ∫ a b g i ( x ) g j ( x ) d x 0 , ( i ≠ j ) \int_a^b g_i(x)g_j(x)\text{d}x0,\ \ (i\ne j) ∫abgi(x)gj(x)dx0, (ij) 那么 f \mathbf f f 可以由 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,⋯,gM−1 的线性组合来表示 f ( x ) f a 0 g 0 ( x ) a 1 g 1 ( x ) ⋯ a M − 1 g M − 1 ( x ) f(x)\mathbf fa_0g_0(x)a_1g_1(x)\cdotsa_{M-1}g_{M-1}(x) f(x)fa0g0(x)a1g1(x)⋯aM−1gM−1(x) 为了求系数 a n a_n an其中 n 0 , ⋯ M − 1 n0,\cdots M-1 n0,⋯M−1先在两边同时乘上 g n ( x ) g_n(x) gn(x)然后再对 x x x 积分 ∫ a b f ( x ) g n ( x ) d x ∫ a b ( a 0 g 0 ( x ) a 1 g 1 ( x ) ⋯ a M − 1 g M − 1 ( x ) ) g n ( x ) d x ∫ a b a 0 g 0 ( x ) g n ( x ) a 1 g 1 ( x ) g n ( x ) ⋯ a n g n ( x ) g n ( x ) ⋯ a M − 1 g M − 1 ( x ) g n ( x ) d x ∫ a b 0 0 ⋯ a n g n ( x ) g n ( x ) ⋯ 0 d x ∫ a b a n g n ( x ) g n ( x ) d x a n ∫ a b f ( x ) g n ( x ) d x ∫ a b g n ( x ) g n ( x ) d x \begin{align*} \int_a^b f(x)g_n(x)\text{d} x\int_a^b (a_0g_0(x)a_1g_1(x)\cdotsa_{M-1}g_{M-1}(x))g_n(x) \text { d} x\\ \int_a^ba_0g_0(x)g_n(x)a_1g_1(x)g_n(x)\cdots a_ng_n(x)g_n(x)\cdotsa_{M-1}g_{M-1}(x)g_n(x) \text { d} x\\ \int_a^b 00\cdots a_ng_n(x)g_n(x)\cdots 0 \text { d} x\\ \int_a^b a_n g_n(x)g_n(x)\text { d} x\\ a_n\frac{\int_a^b f(x)g_n(x)\text d x}{\int_a^b g_n(x)g_n(x)\text { d} x} \end{align*} ∫abf(x)gn(x)dxan∫ab(a0g0(x)a1g1(x)⋯aM−1gM−1(x))gn(x) dx∫aba0g0(x)gn(x)a1g1(x)gn(x)⋯angn(x)gn(x)⋯aM−1gM−1(x)gn(x) dx∫ab00⋯angn(x)gn(x)⋯0 dx∫abangn(x)gn(x) dx∫abgn(x)gn(x) dx∫abf(x)gn(x)dx
2.2 三角函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)
2.2.1 三角函数系的正交性 三角函数系 1 , cos ( ω t ) , sin ( ω t ) , cos ( 2 ω t ) , sin ( 2 ω t ) , ⋯ ⋯ , cos ( n ω t ) , sin ( n ω t ) , ⋯ ⋯ 1,\cos (\omega t),\sin (\omega t),\cos (2 \omega t),\sin (2 \omega t), \cdots \ \cdots,\cos (n\omega t), \sin (n\omega t), \cdots\ \cdots 1,cos(ωt),sin(ωt),cos(2ωt),sin(2ωt),⋯ ⋯,cos(nωt),sin(nωt),⋯ ⋯ 就是这样的一组在区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 内两两正交的函数即上文中的 g 0 ( t ) , g 1 ( t ) , ⋯ , g M − 1 ( t ) g_0(t),g_1(t),\cdots,g_{M-1}(t) g0(t),g1(t),⋯,gM−1(t)。这里 ω 2 π t 2 − t 1 \omega \frac{2\pi}{t_2-t_1} ωt2−t12π 证明三角函数系确实是两两正交的这些三角函数可以分为五类 1 , cos ( n ω t ) , cos ( m ω t ) , sin ( n ω t ) , sin ( m ω t ) 1,\cos (n\omega t), \cos (m\omega t),\sin (n\omega t), \sin (m\omega t) 1,cos(nωt),cos(mωt),sin(nωt),sin(mωt)。这里 n ≠ m n\ne m nm 且 n , m 1 , 2 , 3 ⋯ n,m1,2,3\cdots n,m1,2,3⋯ 即正整数。证明这五类两两正交即可 1 ⊥ cos ( n ω t ) : ∫ t 1 t 2 cos ( n ω t ) d t 0 1 \ \ \bot \ \ \cos (n\omega t): \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t) \text { d} t0 1 ⊥ cos(nωt):∫t1t2cos(nωt) dt0 由于 ω 2 π t 2 − t 1 \omega \frac{2\pi}{t_2-t_1} ωt2−t12π 第 n n n 项三角函数 f trg n ( t ) cos ( n ω t ) f^{n}_{\text{trg}}(t)\cos(n\omega t) ftrgn(t)cos(nωt) 的周期 T n 2 π n ω t 2 − t 1 n T_n\frac{2\pi}{n\omega}\frac{t_2-t_1}{n} Tnnω2πnt2−t1可以得出 t 2 − t 1 n T n t_2-t_1nT_n t2−t1nTn即区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 是 cos ( n ω t ) \cos (n\omega t) cos(nωt) 的周期的整数倍即 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] 一定是 cos ( n ω t ) \cos (n\omega t) cos(nωt) 的一个周期即可得出 ∫ t 1 t 2 cos ( n ω t ) d t 0 \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t) \text { d} t0 ∫t1t2cos(nωt) dt0 1 ⊥ sin ( n ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) d t 0 1 \ \ \bot \ \ \sin (n\omega t): \int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t) \text { d} t0 1 ⊥ sin(nωt):∫t1t2sin(nωt) dt0 类似的通过区间 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] 是 sin ( n ω t ) \sin (n\omega t) sin(nωt) 的一个周期可以证明 ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) d t 0 \int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t) \text { d} t0 ∫t1t2sin(nωt) dt0 sin ( n ω t ) ⊥ sin ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) sin ( m ω t ) d t 0 \sin (n\omega t) \bot \sin (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\sin (n \omega t) \sin (m\omega t) \text{ d}t0 sin(nωt)⊥sin(mωt):∫t1t2sin(nωt)sin(mωt) dt0 根据积化和差 ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) sin ( m ω t ) d t ∫ t 1 t 2 − 1 2 ( cos ( n m ) ω t − cos ( n − m ) ω t ) d t − 1 2 ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) − cos ( m ′ ω t d t ) − 1 2 ( ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) d t − ∫ t 1 t 2 cos ( m ′ ω t ) d t ) 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \sin (n \omega t) \sin (m\omega t) \text{ d}t\int_{t_1}^{t_2} -\frac{1}{2}(\cos(nm)\omega t-\cos(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ -\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t)-\cos (m \omega t \text{ d} t)\\ -\frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t)\text{ d} t-\int_{t_1}^{t_2}\cos (m \omega t) \text{ d} t\right )\\ 0 \end{align*} ∫t1t2sin(nωt)sin(mωt) dt∫t1t2−21(cos(nm)ωt−cos(n−m)ωt) dt−21∫t1t2cos(n′ωt)−cos(m′ωt dt)−21(∫t1t2cos(n′ωt) dt−∫t1t2cos(m′ωt) dt)0 cos ( n ω t ) ⊥ cos ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 cos ( n ω t ) cos ( m ω t ) d t 0 \cos (n \omega t) \bot \cos (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\cos (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t0 cos(nωt)⊥cos(mωt):∫t1t2cos(nωt)cos(mωt) dt0 类似地根据积化和差 ∫ t 1 t 2 cos ( n ω t ) cos ( m ω t ) d t ∫ t 1 t 2 1 2 ( cos ( n m ) ω t cos ( n − m ) ω t ) d t 1 2 ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) cos ( m ′ ω t ) d t 1 2 ( ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) d t ∫ t 1 t 2 cos ( m ′ ω t ) d t ) 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \cos (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}(\cos(nm)\omega t\cos(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ \frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t)\cos( m \omega t) \text{ d} t\\ \frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t)\text{ d} t\int_{t_1}^{t_2}\cos (m \omega t) \text{ d} t\right )\\ 0 \end{align*} ∫t1t2cos(nωt)cos(mωt) dt∫t1t221(cos(nm)ωtcos(n−m)ωt) dt21∫t1t2cos(n′ωt)cos(m′ωt) dt21(∫t1t2cos(n′ωt) dt∫t1t2cos(m′ωt) dt)0 sin ( n ω t ) ⊥ cos ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) cos ( m ω t ) d t 0 \sin (n \omega t) \bot \cos (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\sin (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t0 sin(nωt)⊥cos(mωt):∫t1t2sin(nωt)cos(mωt) dt0 此时无需 m ≠ n m\ne n mn 由积化和差 ∫ t 1 t 2 sin ( n ω t ) cos ( m ω t ) d t ∫ t 1 t 2 1 2 ( sin ( n m ) ω t sin ( n − m ) ω t ) d t 1 2 ∫ t 1 t 2 sin ( n ′ ω t ) sin ( m ′ ω t ) d t 1 2 ( ∫ t 1 t 2 sin ( n ′ ω t ) d t ∫ t 1 t 2 sin ( m ′ ω t ) d t ) 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \sin (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}(\sin(nm)\omega t\sin(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ \frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t)\sin (m \omega t) \text{ d} t\\ \frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t)\text{ d} t\int_{t_1}^{t_2}\sin (m \omega t) \text{ d} t\right )\\ 0 \end{align*} ∫t1t2sin(nωt)cos(mωt) dt∫t1t221(sin(nm)ωtsin(n−m)ωt) dt21∫t1t2sin(n′ωt)sin(m′ωt) dt21(∫t1t2sin(n′ωt) dt∫t1t2sin(m′ωt) dt)0 也就是说三角函数系有正交性也就是一个在 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 有定义的 f ( t ) f(t) f(t)可以表示为 f ( t ) a 0 a 1 cos ( ω t ) b 1 sin ( ω t ) ⋯ a n cos ( n ω t ) b n sin ( n ω t ) ⋯ a 0 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( n ω t ) b n sin ( n ω t ) ) \begin{align*} f(t)a_0a_1\cos (\omega t)b_1\sin(\omega t)\cdotsa_n\cos (n \omega t)b_n\sin (n\omega t)\cdots \\ a_0\sum_{n1}^{\infty}(a_n\cos (n\omega t)b_n\sin (n\omega t)) \end{align*} f(t)a0a1cos(ωt)b1sin(ωt)⋯ancos(nωt)bnsin(nωt)⋯a0n1∑∞(ancos(nωt)bnsin(nωt))
2.2.2 三角函数系的系数
如何求得表示 f ( t ) f(t) f(t) 的三角函数系的系数 那么接下来需要求得 f ( t ) f(t) f(t) 函数的系数。与上文的正交函数类似与正交函数中的系数 a n a_n an 相比此处有三处系数 a 0 , a n a_0,a_n a0,an 和 b n b_n bn 此时 n 0 n0 n0 首先求 a 0 a_0 a0 的值对 t t t 求积分 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t ∫ t 1 t 2 ( a 0 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( n ω ) t b n sin ( n ω t ) ) d t ) d t ∫ t 1 t 2 a 0 d t 0 ( t 2 − t 1 ) a 0 a 0 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( 0 ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\int_{t_1}^{t_2}\left (a_0\sum_{n1}^{\infty}(a_n\cos (n\omega )tb_n\sin (n\omega t))\text{ d}t\right )\text{ d}t\\ \int_{t_1}^{t_2}a_0\text{ d}t0\\ (t_2-t_1)a_0\\ a_0 \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\\ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (0\omega t) \text{ d}t \end{align*} ∫t1t2f(t) dta0∫t1t2(a0n1∑∞(ancos(nω)tbnsin(nωt)) dt) dt∫t1t2a0 dt0(t2−t1)a0t2−t11∫t1t2f(t) dtt2−t11∫t1t2f(t)⋅cos(0ωt) dt 为了求系数 a n / b n a_n/b_n an/bn为等式两边乘上 a n / b n a_n/b_n an/bn 的对应项 cos n ω t / sin n ω t \cos n\omega t/\sin n\omega t cosnωt/sinnωt 再求积分去掉值为0的正交项只留下 m n mn mn 时的 cos / sin ) \cos/\sin) cos/sin) 项。为区分符号设定此时 ω 2 π t 2 − t 1 \omega\frac{2\pi}{t_2-t_1} ωt2−t12π ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( m ω t ) d t a 0 ∫ t 1 t 2 cos ( m ω t ) d t ∑ n 1 ∞ ( a n ∫ t 1 t 2 cos ( m ω t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t b n ∫ t 1 t 2 cos ( m ω t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t ) 0 a n ∫ t 1 t 2 cos 2 ( n ω t ) d t 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (m\omega t) \text{ d}ta_0\int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t) \text{ d}t \sum_{n1}^{\infty}\left(a_n\int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d} tb_n \int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t)\cdot\sin (n\omega t)\text{ d}t\right )\\ 0 a_n \int_{t_1}^{t_2} \cos^2 (n\omega t)\text{ d}t 0 \end{align*} ∫t1t2f(t)⋅cos(mωt) dta0∫t1t2cos(mωt) dtn1∑∞(an∫t1t2cos(mωt)⋅cos(nωt) dtbn∫t1t2cos(mωt)⋅sin(nωt) dt)0an∫t1t2cos2(nωt) dt0 利用倍角公式 cos 2 α 2 cos 2 α − 1 \cos 2\alpha2\cos^2\alpha-1 cos2α2cos2α−1得到 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t a n ∫ t 1 t 2 cos 2 ( n ω t ) d t a n 2 ∫ t 1 t 2 ( 1 cos ( 2 n ω t ) ) d t a n 2 ( ∫ t 1 t 2 1 d t ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) d t ) a n ( t 2 − t 1 ) 2 a n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t a_n \int_{t_1}^{t_2} \cos^2 (n\omega t)\text{ d}t\\ \frac{a_n}{2}\int_{t_1}^{t_2}(1\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ \frac{a_n}{2}\left(\int_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t\int_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t) \text{ d}t\right)\\ \frac{a_n(t_2-t_1)}{2}\\ a_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} ∫t1t2f(t)⋅cos(nωt) dtanan∫t1t2cos2(nωt) dt2an∫t1t2(1cos(2nωt)) dt2an(∫t1t21 dt∫t1t2cos(n′ωt) dt)2an(t2−t1)t2−t12∫t1t2f(t)⋅cos(nωt) dt 同理利用倍角公式 cos 2 α 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha 1-2\sin^2\alpha cos2α1−2sin2α可得 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ( m ω t ) d t a 0 ∫ t 1 t 2 sin ( m ω t ) d t ∑ n 1 ∞ ( a n ∫ t 1 t 2 sin ( m ω t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t b n ∫ t 1 t 2 sin ( m ω t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t ) 0 b n ∫ t 1 t 2 sin 2 ( n ω t ) d t 0 b n 2 ∫ t 1 t 2 ( 1 − cos ( 2 n ω t ) ) d t b n 2 ( ∫ t 1 t 2 1 d t − ∫ t 1 t 2 cos ( n ′ ω t ) d t ) b n ( t 2 − t 1 ) 2 b n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (m\omega t) \text{ d}ta_0\int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t) \text{ d}t \sum_{n1}^{\infty}\left(a_n\int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d} tb_n \int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t)\cdot\sin (n\omega t)\text{ d}t\right )\\ 0 b_n \int_{t_1}^{t_2} \sin^2 (n\omega t)\text{ d}t 0\\ \frac{b_n}{2}\int_{t_1}^{t_2}(1-\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ \frac{b_n}{2}\left(\int_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t-\int_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t) \text{ d}t\right)\\ \frac{b_n(t_2-t_1)}{2}\\ b_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} ∫t1t2f(t)⋅sin(mωt) dtbna0∫t1t2sin(mωt) dtn1∑∞(an∫t1t2sin(mωt)⋅cos(nωt) dtbn∫t1t2sin(mωt)⋅sin(nωt) dt)0bn∫t1t2sin2(nωt) dt02bn∫t1t2(1−cos(2nωt)) dt2bn(∫t1t21 dt−∫t1t2cos(n′ωt) dt)2bn(t2−t1)t2−t12∫t1t2f(t)⋅sin(nωt) dt 对比 a 0 , a n a_0,a_n a0,an 和 b n b_n bn 为了能使 n n n 也能表示 n 0 n0 n0 的情况令 a 0 2 a 0 a_02a_0 a02a0。此时我们可以得到 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( n ω t ) b n sin ( n ω t ) ) a 0 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t a n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t b n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t \begin{align*} f(t)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}\left (a_n\cos(n\omega t)b_n \sin(n\omega t)\right )\\ a_0\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t) \text{ d}t\\ a_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \\ b_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancos(nωt)bnsin(nωt))t2−t12∫t1t2f(t) dtt2−t12∫t1t2f(t)⋅cos(nωt) dtt2−t12∫t1t2f(t)⋅sin(nωt) dt
至此傅里叶级数可以将任意一个周期函数 f ( t ) f(t) f(t) 分解为多个三角函数的组合从而完成时域到频域的转换。而傅里叶级数是处理周期函数的为了处理非周期的普通函数需要把周期 T T T 从 2 π 2\pi 2π 趋向于无穷也就是傅里叶变换。
2.3 复指数函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)
2.3.1 复指数函数系的系数
在傅里叶变换之前我们使用一个更加简单直观的表示将傅里叶的三角函数形式转化为傅里叶的复指数形式。由欧拉公式 e i θ cos ( θ ) i sin ( θ ) e^{i\theta}\cos(\theta)i\sin(\theta) eiθcos(θ)isin(θ) 可得 cos ( n ω t ) 1 2 ( e i n ω t e − i n ω t ) sin ( n ω t ) 1 2 i ( e i n ω t − e − i n ω t ) − i 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) \begin{align*} \cos(n\omega t)\frac{1}{2}(e^{in\omega t}e^{-in\omega t})\\ \sin(n\omega t)\frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})-\frac{i}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}) \end{align*} cos(nωt)sin(nωt)21(einωte−inωt)2i1(einωt−e−inωt)−2i(einωt−e−inωt) 代入 f ( x ) f(x) f(x) f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n 2 ( e i n ω t e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n − i b n 2 e i n ω t a n i b n 2 e − i n ω t ) \begin{align*} f(t)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}\left (\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}e^{-in\omega t})-\frac{ib_n}{2} (e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right )\\ \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^\infty \left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} \frac{a_nib_n}{2}e^{-in\omega t}\right) \end{align*} f(t)2a0n1∑∞(2an(einωte−inωt)−2ibn(einωt−e−inωt))2a0n1∑∞(2an−ibneinωt2anibne−inωt) 重新求系数 a n − i b n 2 1 t 2 − t 1 ( ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t − i ⋅ ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t ) 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( cos ( n ω t ) − i ⋅ sin ( n ω t ) ) d t 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( 1 2 ( e i n ω t e − i n ω t ) − i ⋅ 1 2 i ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) d t 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ e − i n ω t d t a n i b n 2 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ e i n ω t d t \begin{align*} \frac{a_n-ib_n}{2}\frac{1}{t_2-t_1}\left (\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t-i\cdot \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t\right )\\ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot(\cos (n\omega t)-i\cdot\sin(n\omega t))\text{ d}t\\ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot\left (\frac{1}{2}(e^{in\omega t}e^{-in\omega t})-i\cdot\frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right)\text{ d}t\\ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{-in\omega t}\text{ d}t\\ \frac{a_nib_n}{2}\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{in\omega t}\text{ d}t \end{align*} 2an−ibn2anibnt2−t11(∫t1t2f(t)⋅cos(nωt) dt−i⋅∫t1t2f(t)⋅sin(nωt) dt)t2−t11∫t1t2f(t)⋅(cos(nωt)−i⋅sin(nωt)) dtt2−t11∫t1t2f(t)⋅(21(einωte−inωt)−i⋅2i1(einωt−e−inωt)) dtt2−t11∫t1t2f(t)⋅e−inωt dtt2−t11∫t1t2f(t)⋅einωt dt 代入 f ( t ) f(t) f(t) 为了区分将原系数 a 0 , a n a_0,a_n a0,an 和 b n b_n bn 中的 t t t 表示为 τ \tau τ 。可得 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( ( 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t ( 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e i n ω τ d τ ) e − i n ω t ) a 0 2 1 t 2 − t 1 ∑ n 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t 1 t 2 − t 1 ∑ n 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e i n ω τ d τ ) e − i n ω t 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) d τ 1 t 2 − t 1 ∑ n 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t 1 t 2 − t 1 ∑ n − ∞ − 1 ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t 1 t 2 − t 1 ∑ n − ∞ ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t ∑ n − ∞ ∞ c n e i n ω t c n 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ \begin{align*} f(t)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^\infty \left(\left(\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau\right)e^{in\omega t} \left(\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{in\omega \tau}\text{ d}\tau\right)e^{-in\omega t}\right)\\ \frac{a_0}{2}\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{-in\omega t}\\ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau) \text{ d}\tau\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n-\infty}^{-1} \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ \frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n-\infty}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ \sum_{n-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t}\\ c_n\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} f(t)cn2a0n1∑∞((t2−t11∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ)einωt(t2−t11∫t1t2f(τ)⋅einωτ dτ)e−inωt)2a0t2−t11n1∑∞(∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ)einωtt2−t11n1∑∞(∫t1t2f(τ)⋅einωτ dτ)e−inωtt2−t11∫t1t2f(τ) dτt2−t11n1∑∞(∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ)einωtt2−t11n−∞∑−1(∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ)einωtt2−t11n−∞∑∞(∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ)einωtn−∞∑∞cneinωtt2−t11∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ 也就是将 f ( t ) f(t) f(t) 看作基向量 e i n ω t e^{in\omega t} einωt 的线性组合。同样此时傅里叶级数可以将任意一个周期函数 f ( x ) f(x) f(x) 分解为多个复指数形式的组合从而完成时域到频域的转换。
2.3.2 复指数函数系的正交性
证明 e i n ω t e^{in\omega t} einωt 确实可以作为基向量即证明复指数函数系的正交性即证明对于 n ≠ m n\ne m nm 相对应的复指数内积 ⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ 0 \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle0 ⟨einωt,eimωt⟩0。注意两个复函数内积时要对一个求共轭即 ⟨ f , g ⟩ : ∫ a b f ( t ) g ( t ) ‾ d t \left \langle f,g\right \rangle:\int_a^b f(t)\overline{g(t)}\text{ d}t ⟨f,g⟩:∫abf(t)g(t) dt ⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ ∫ t 1 t 2 e i n ω t ⋅ e − i m ω t d t ∫ t 1 t 2 e i ω t ( n − m ) d t 1 i ω ( n − m ) e i ω t ( n − m ) ∣ t 1 t 2 1 i ω ( n − m ) ( e i ω ( n − m ) t 2 − e i ω ( n − m ) t 1 ) \begin{align*} \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle\int_{t_1}^{t_2} e^{in\omega t}\cdot e^{-im\omega t} \text{ d}t\\ \int_{t_1}^{t_2} e^{i\omega t(n-m)} \text{ d}t\\ \frac{1}{i\omega(n-m)}e^{i\omega t(n-m)}\bigg|_{t_1}^{t_2}\\ \frac{1}{i\omega(n-m)}\left (e^{i\omega (n-m)t_2}-e^{i\omega (n-m)t_1}\right) \end{align*} ⟨einωt,eimωt⟩∫t1t2einωt⋅e−imωt dt∫t1t2eiωt(n−m) dtiω(n−m)1eiωt(n−m) t1t2iω(n−m)1(eiω(n−m)t2−eiω(n−m)t1) 由于 f cplx n ( t ) e i n ω t f^{n}_{\text{cplx}}(t)e^{in\omega t} fcplxn(t)einωt 的周期 T n 2 π n ω t 2 − t 1 n T_n\frac{2\pi}{n\omega}\frac{t_2-t_1}{n} Tnnω2πnt2−t1 可以得出 t 2 − t 1 n T n t_2-t_1nT_n t2−t1nTn即区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 是 f cplx n ( t ) f^{n}_{\text{cplx}}(t) fcplxn(t) 的周期的整数倍即 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] 一定是 f cplx n ( t ) f^{n}_{\text{cplx}}(t) fcplxn(t) 的一个周期即 f cplx n ( t 1 ) f cplx n ( t 2 ) f^{n}_{\text{cplx}}(t_1)f^{n}_{\text{cplx}}(t_2) fcplxn(t1)fcplxn(t2)那么当 n n − m n ′ nn-mn nn−mn′ 时 ⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ 1 i ω ( n − m ) ( e i ω n ′ t 2 − e i ω n ′ t 1 ) 1 i ω ( n − m ) ( f cplx n ′ ( t 2 ) − f cplx n ′ ( t 1 ) ) 1 i ω ( n − m ) ⋅ 0 0 \begin{align*} \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle\frac{1}{i\omega(n-m)}\left (e^{i\omega nt_2}-e^{i\omega nt_1}\right)\\ \frac{1}{i\omega(n-m)}\left (f^{n}_{\text{cplx}}(t_2)-f^{n}_{\text{cplx}}(t_1)\right)\\ \frac{1}{i\omega(n-m)}\cdot 0\\ 0 \end{align*} ⟨einωt,eimωt⟩iω(n−m)1(eiωn′t2−eiωn′t1)iω(n−m)1(fcplxn′(t2)−fcplxn′(t1))iω(n−m)1⋅00
2.4 傅里叶级数总结
至此我们得到了周期性信号 f ( t ) f(t) f(t) 的三角函数系表示 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( n ω t ) b n sin ( n ω t ) ) a 0 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t a n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ( n ω t ) d t b n 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ( n ω t ) d t \begin{align*} f(t)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}\left (a_n\cos(n\omega t)b_n \sin(n\omega t)\right )\\ a_0\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t) \text{ d}t\\ a_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \\ b_n\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancos(nωt)bnsin(nωt))t2−t12∫t1t2f(t) dtt2−t12∫t1t2f(t)⋅cos(nωt) dtt2−t12∫t1t2f(t)⋅sin(nωt) dt 和复指数函数系表示 f ( t ) ∑ n − ∞ ∞ c n e i n ω t c n 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ \begin{align*} f(t) \sum_{n-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t}\\ c_n\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} f(t)cnn−∞∑∞cneinωtt2−t11∫t1t2f(τ)⋅e−inωτ dτ 其中 t 2 − t 1 t_2-t_1 t2−t1 是 f ( t ) f(t) f(t) 的一个周期 ω 2 π t 2 − t 1 \omega\frac{2\pi}{t_2-t_1} ωt2−t12π。
3 傅里叶变换
此时的傅里叶级数只是针对周期性函数的即转换为频域时频率的个数是有限多个即频域图是离散的。傅里叶变换就是将傅里叶级数推广到一般的非周期性函数。
接下来对复指数形式的傅里叶级数进行一个从离散到连续的过程即将傅里叶级数扩展到非周期性函数(周期无限大的函数)中。这里要用到黎曼积分的定义。此时 ω 2 π t 2 − t 1 \omega\frac{2\pi}{t_2-t_1} ωt2−t12π 当周期 t 2 − t 1 → ∞ t_2-t_1\to\infty t2−t1→∞ 时 ω → 0 \omega \to 0 ω→0。此时我们令 ω n n ω 2 π n t 2 − t 1 F ( ω ) ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i ω τ d τ \begin{align*} \omega_nn\omega\frac{2\pi n}{t_2-t_1}\\ F(\omega)\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-i\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} ωnF(ω)nωt2−t12πn∫t1t2f(τ)⋅e−iωτ dτ 那么 f ( t ) f(t) f(t) 可以写成 f ( t ) ∑ n − ∞ ∞ 1 t 2 − t 1 F ( ω n ) e i ω n t \begin{align*} f(t)\sum_{n-\infty}^{\infty}\frac{1}{t_2-t_1}F(\omega_n)e^{i\omega_n t} \end{align*} f(t)n−∞∑∞t2−t11F(ωn)eiωnt 根据积分的黎曼和表达式 ∫ a b f riman ( x ) d x lim λ → 0 ∑ n 0 ∞ f riman ( x n ) ⋅ λ \int_a^bf_{\text{riman}}(x)\text{ d}x \underset{\lambda\to 0}{\lim}\sum_{n0}^{\infty}f_{\text{riman}}(x_n)\cdot \lambda ∫abfriman(x) dxλ→0limn0∑∞friman(xn)⋅λ 则对于 f ( t ) f(t) f(t) 来说 f riman ( ω ) F ( ω ) e i ω t λ Δ ω ω n − ω n − 1 2 π n t 2 − t 1 − 2 π ( n − 1 ) t 2 − t 1 2 π t 2 − t 1 \begin{align*} f_{\text{riman}}(\omega)F(\omega)e^{i\omega t}\\ \lambda \Delta \omega \omega_n-\omega_{n-1}\frac{2\pi n}{t_2-t_1} - \frac{2\pi (n-1)}{t_2-t_1}\frac{2\pi}{t_2-t_1} \end{align*} friman(ω)λF(ω)eiωtΔωωn−ωn−1t2−t12πn−t2−t12π(n−1)t2−t12π 因此可以将 f ( t ) f(t) f(t) 写成 f ( t ) 1 2 π ∑ n − ∞ ∞ 2 π t 2 − t 1 F ( ω n ) e i ω n t 1 2 π ∑ n − ∞ ∞ λ ⋅ f riman ( ω n ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f riman ( ω ) d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω \begin{align*} f(t)\frac{1}{2\pi}\sum_{n-\infty}^{\infty}\frac{2\pi}{t_2-t_1}F(\omega_n)e^{i\omega_n t}\\ \frac{1}{2\pi}\sum_{n-\infty}^{\infty}\lambda \cdot f_{\text{riman}}(\omega_n)\\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\text{riman}}(\omega) \text{ d} \omega\\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega \end{align*} f(t)2π1n−∞∑∞t2−t12πF(ωn)eiωnt2π1n−∞∑∞λ⋅friman(ωn)2π1∫−∞∞friman(ω) dω2π1∫−∞∞F(ω)eiωt dω 此时周期 t 2 − t 1 → ∞ t_2-t_1\to\infty t2−t1→∞这就是傅里叶变换 F ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ e − i ω t d t F(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t F(ω)∫−∞∞f(t)⋅e−iωt dt 和傅里叶逆变换 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega f(t)2π1∫−∞∞F(ω)eiωt dω
参考资料
深入理解正交函数 https://zhuanlan.zhihu.com/p/338045910
傅里叶分析之掐死教程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
三角函数和 e i k x e^{ikx} eikx的正交性 https://zhuanlan.zhihu.com/p/597931378
如何理解傅里叶变换公式https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/1119070975
傅里叶变换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/104079068
浅谈傅里叶变换关于傅里叶变换的几种几何学解释 https://mp.weixin.qq.com/s/rkDrHrTJwAbGL0znvnk_pA
傅里叶系列二傅里叶变换的推导 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010
