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矩阵乘法#xff08;Matrix Multiplication#xff09;是线性代数中的核心操作之一。在数学、几何和工程实际中#xff0c;它不仅是一种代数运算规则#xff0c;还承载着丰富的几何和映射意义。本文将从多个角度深入解析矩阵乘法#xff0c;帮助读者理…理解矩阵乘法的解析
矩阵乘法Matrix Multiplication是线性代数中的核心操作之一。在数学、几何和工程实际中它不仅是一种代数运算规则还承载着丰富的几何和映射意义。本文将从多个角度深入解析矩阵乘法帮助读者理解其本质及应用。 矩阵乘法的基础运算规则
1.1 行×列的点积
设矩阵 A A A 为 m × n m \times n m×n 维度矩阵 B B B 为 n × p n \times p n×p 维度则它们的乘积 C A × B C A \times B CA×B 是一个 m × p m \times p m×p 的矩阵。 C C C 中的第 i i i 行第 j j j 列元素 c i j c_{ij} cij 的计算公式为 c i j ∑ k 1 n a i k b k j c_{ij} \sum_{k1}^n a_{ik}\, b_{kj} cijk1∑naikbkj 即 A A A 的第 i i i 行向量与 B B B 的第 j j j 列向量做点积。
1.2 示例计算
设 A ( 1 2 3 4 5 6 ) , B ( − 1 2 0 1 2 1 ) . A \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \end{pmatrix}, \quad B \begin{pmatrix} -1 2 \\ 0 1 \\ 2 1 \end{pmatrix}. A(142536),B⎝⎛−102211⎠⎞. A A A 的大小是 2 × 3 2 \times 3 2×3。 B B B 的大小是 3 × 2 3 \times 2 3×2。
乘积 C A × B C A \times B CA×B 将是一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的矩阵。
计算 C C C 的第 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 元素 c 11 c_{11} c11 c 11 ( 1 , 2 , 3 ) ⋅ ( − 1 , 0 , 2 ) 1 × ( − 1 ) 2 × 0 3 × 2 − 1 0 6 5. c_{11} (1,2,3) \cdot (-1,0,2) 1 \times (-1) 2 \times 0 3 \times 2 -1 0 6 5. c11(1,2,3)⋅(−1,0,2)1×(−1)2×03×2−1065.
类似地可以算出其余元素最终得到 C ( 5 9 8 18 ) . C \begin{pmatrix} 5 9 \\ 8 18 \end{pmatrix}. C(58918). 几何视角线性变换的复合
矩阵乘法可以理解为线性变换的组合。
2.1 线性变换的定义
矩阵 A A A 对一个列向量 x x x 的乘积 A x A x Ax可以视为对向量 x x x 的某种线性变换比如拉伸、旋转、剪切等。如果有另一个矩阵 B B B 对向量做线性变换则先用 A A A再用 B B B 的过程可以表示为 B ( A x ) B(Ax) B(Ax)。这个组合变换可以用一个矩阵 C B A C B A CBA 表示。
2.2 矩阵乘法与变换级联
因此两个矩阵相乘实际上是两个线性变换的复合 B × A ↔ T B ∘ T A , B \times A \quad \leftrightarrow \quad T_B \circ T_A, B×A↔TB∘TA, 其中「 ∘ \circ ∘」表示函数的组合先执行 T A T_A TA再执行 T B T_B TB。
矩阵乘积的顺序反映了变换的执行顺序这也是矩阵乘法不满足交换律的原因之一即通常 A B ≠ B A AB \neq BA ABBA。 从行和列的视角理解
3.1 行向量视角
矩阵乘法的结果的某一行可以看作前一个矩阵的那一行选取并线性组合另一个矩阵的对应列。
例如 C A × B , C A \times B, CA×B, 则 C C C 的第 i i i 行等于 (第 i 行的 A ) × B . \text{(第 }i\text{ 行的 }A) \times B. (第 i 行的 A)×B.
假设「第 i i i 行的 A A A」是向量 ( a i 1 , a i 2 , … , a i n ) (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}) (ai1,ai2,…,ain)它会将 B B B 的第 1 行加权 a i 1 a_{i1} ai1、第 2 行加权 a i 2 a_{i2} ai2、…、第 n n n 行加权 a i n a_{in} ain 后相加。
3.2 列向量视角
矩阵 B B B 可以被看作由其列向量 b 1 , b 2 , … , b p b_1, b_2, \dots, b_p b1,b2,…,bp 构成。
矩阵乘法 A B AB AB 的结果可以理解为 A A A 对 B B B 的每一个列向量进行线性变换后将这些新向量拼成结果矩阵。即 A B [ A b 1 A b 2 … A b p ] . AB \bigl[A b_1 \quad A b_2 \quad \dots \quad A b_p\bigr]. AB[Ab1Ab2…Abp]. 矩阵乘法的多重意义
4.1 几何意义线性映射
矩阵乘法对应两个线性映射的复合操作体现了几何变换的顺序性。
4.2 应用意义
矩阵乘法广泛应用于
神经网络 在深度学习的全连接层中矩阵乘法用于线性组合输入特征生成下一层的输出。 图像变换 矩阵用于表示旋转、缩放、平移等操作多个变换叠加可通过矩阵乘法实现。 马尔可夫链 状态转移矩阵的多步转移可以通过矩阵幂次乘法实现。 矩阵乘法的定义为何是「行×列」
矩阵乘法定义为「行向量与列向量的点积」是为了满足以下性质
复合线性变换的一一对应矩阵乘法能表示线性映射的复合。分配率与结合律保证代数操作的完整性。与向量运算兼容保证行×列运算能与向量操作自然衔接。 总结
运算层面矩阵乘法是通过「行向量」与「列向量」的点积计算得到的。几何层面它对应了线性变换的复合。行和列的视角从行角度看是线性组合从列角度看是逐列映射。应用层面广泛应用于神经网络、图像处理、状态转移等领域。
一句话概括 矩阵乘法既是一种代数运算规则也是线性变换复合的几何抽象连接了数值计算与线性代数的核心思想。
