建站系统网站建设,网站建设销售提点20个点,南昌网站建设700起,建材网站制作本文仅供学习使用 本文参考#xff1a; 《变分法基础-第三版》老大中 《变分学讲义》张恭庆 《Calculus of Variations of Optimal Control Theory》-变分法和最优控制论-Daneil Liberzon Ch01-1 数学基础-预备知识1 1 数学基础-预备知识1.1 泰勒公式1.1.1 一元函数的泰勒公式… 本文仅供学习使用 本文参考 《变分法基础-第三版》老大中 《变分学讲义》张恭庆 《Calculus of Variations of Optimal Control Theory》-变分法和最优控制论-Daneil Liberzon Ch01-1 数学基础-预备知识1 1 数学基础-预备知识1.1 泰勒公式1.1.1 一元函数的泰勒公式1.1.2 二元函数的泰勒公式1.1.3 m元函数多元函数的泰勒公式 1.2 含参变量的积分1.2.1 连续性1.2.2 积分顺序的可交换性1.2.3 求导与积分顺序的可交换性1.2.4 莱布尼茨公式 1.3 场论基础1.3.1 方向导数与梯度 1 数学基础-预备知识
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函数的泰勒公式 泰勒中值定理/泰勒定理 若函数 f ( x ) f\left( x \right) f(x)在点 x 0 x_0 x0的某个开区间 ( a , b ) \left( a,b \right) (a,b)内具有 n 1 n1 n1阶连续导数则当 x x x在 ( a , b ) \left( a,b \right) (a,b)内时 f ( x ) f\left( x \right) f(x)可表示为 f ( x ) f ( x 0 ) d f ( x 0 ) d x ( x − x 0 ) 1 2 ! d 2 f ( x 0 ) d x 2 ( x − x 0 ) 2 ⋯ 1 n ! d n f ( x 0 ) d x n ( x − x 0 ) n R n f\left( x \right) f\left( x_0 \right) \frac{\mathrm{d}f\left( x_0 \right)}{\mathrm{d}x}\left( x-x_0 \right) \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d}^2f\left( x_0 \right)}{\mathrm{d}x^2}\left( x-x_0 \right) ^2\cdots \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^nf\left( x_0 \right)}{\mathrm{d}x^n}\left( x-x_0 \right) ^nR_n f(x)f(x0)dxdf(x0)(x−x0)2!1dx2d2f(x0)(x−x0)2⋯n!1dxndnf(x0)(x−x0)nRn 其中 上式称为 f ( x ) f\left( x \right) f(x)在点 x 0 x_0 x0按 ( x − x 0 ) \left( x-x_0 \right) (x−x0)的幂展开到n阶的泰勒公式/泰勒级数展开 R n R_n Rn称为拉格朗日型余项为一个当 x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0时比 ∣ x − x 0 ∣ n \left| x-x_0 \right|^n ∣x−x0∣n更高阶的无穷小或称为比 ∣ x − x 0 ∣ \left| x-x_0 \right| ∣x−x0∣高 n − 1 n-1 n−1阶的无穷小。 一元函数的极值定理 若可导函数 f ( x ) f\left( x \right) f(x)在定义区间内点 x 0 x_0 x0取得极值则在该点必有 d f ( x 0 ) d x 0 \frac{\mathrm{d}f\left( x_0 \right)}{\mathrm{d}x}0 dxdf(x0)0 1.1.2 二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒中值定理 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) f ( x 0 , y 0 ) 1 2 ! ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) 2 f ( x 0 , y 0 ) ⋯ 1 k ! ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) k f ( x 0 , y 0 ) ⋯ 1 n ! ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) n f ( x 0 , y 0 ) R n f\left( x,y \right) f\left( x_0,y_0 \right) \left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) f\left( x_0,y_0 \right) \frac{1}{2!}\left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) ^2f\left( x_0,y_0 \right) \cdots \frac{1}{k!}\left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) ^kf\left( x_0,y_0 \right) \cdots \frac{1}{n!}\left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) ^nf\left( x_0,y_0 \right) R_n f(x,y)f(x0,y0)(Δx∂x∂Δy∂y∂)f(x0,y0)2!1(Δx∂x∂Δy∂y∂)2f(x0,y0)⋯k!1(Δx∂x∂Δy∂y∂)kf(x0,y0)⋯n!1(Δx∂x∂Δy∂y∂)nf(x0,y0)Rn 其中 ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) k f ( x 0 , y 0 ) ∑ r 0 k C k r ( Δ x ) r ( Δ y ) k − r ∂ k f ( x 0 , y 0 ) ∂ x r ∂ y k − r \left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) ^kf\left( x_0,y_0 \right) \sum_{r0}^k{C_{\mathrm{k}}^{r}\left( \varDelta x \right) ^r\left( \varDelta y \right) ^{k-r}\frac{\partial ^kf\left( x_0,y_0 \right)}{\partial x^r\partial y^{k-r}}} (Δx∂x∂Δy∂y∂)kf(x0,y0)∑r0kCkr(Δx)r(Δy)k−r∂xr∂yk−r∂kf(x0,y0) R n 1 ( n 1 ) ! ( Δ x ∂ ∂ x Δ y ∂ ∂ y ) n 1 f ( x 0 θ Δ x , y 0 θ Δ y ) , θ ∈ ( 0 , 1 ) R_n\frac{1}{\left( n1 \right) !}\left( \varDelta x\frac{\partial}{\partial x}\varDelta y\frac{\partial}{\partial y} \right) ^{n1}f\left( x_0\theta \varDelta x,y_0\theta \varDelta y \right) ,\theta \in \left( 0,1 \right) Rn(n1)!1(Δx∂x∂Δy∂y∂)n1f(x0θΔx,y0θΔy),θ∈(0,1)称为 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) \left( x_0,y_0 \right) (x0,y0)的n阶拉格朗日型余项。 令 ρ Δ x 2 Δ y 2 , Δ x ρ cos α , Δ y ρ sin α \rho \sqrt{\varDelta x^2\varDelta y^2},\varDelta x\rho \cos \alpha ,\varDelta y\rho \sin \alpha ρΔx2Δy2 ,Δxρcosα,Δyρsinα对于邻域上任一点 ( x 0 Δ x , y 0 Δ y ) \left( x_0\varDelta x,y_0\varDelta y \right) (x0Δx,y0Δy) f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)的各 n 1 n1 n1阶偏导数的绝对值都不超过一个正数 M M M则余项的绝对值有 ∣ R n ∣ ⩽ M ( n 1 ) ! ( ∣ Δ x ∣ ∣ Δ y ∣ ) n 1 M ρ n 1 ( n 1 ) ! ( ∣ cos α ∣ ∣ sin α ∣ ) n 1 ⩽ 2 M ρ n 1 \left| R_n \right|\leqslant \frac{M}{\left( n1 \right) !}\left( \left| \varDelta x \right|\left| \varDelta y \right| \right) ^{n1}\frac{M\rho ^{n1}}{\left( n1 \right) !}\left( \left| \cos \alpha \right|\left| \sin \alpha \right| \right) ^{n1}\leqslant 2M\rho ^{n1} ∣Rn∣⩽(n1)!M(∣Δx∣∣Δy∣)n1(n1)!Mρn1(∣cosα∣∣sinα∣)n1⩽2Mρn1 可知 R n R_n Rn是一个比 ρ \rho ρ 高 n n n阶的无穷小。 二元函数的极值定理 若可导函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在定义区间内点 ( x 0 , y 0 ) \left( x_0,y_0 \right) (x0,y0)取得极值则在该点必有 ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y 0 \frac{\partial f\left( x_0,y_0 \right)}{\partial x}\frac{\partial f\left( x_0,y_0 \right)}{\partial y}0 ∂x∂f(x0,y0)∂y∂f(x0,y0)0 1.1.3 m元函数多元函数的泰勒公式 多元函数的泰勒中值定理 f ( x 1 , x 2 , ⋯ x m ) f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) 1 1 ! ( Δ x 1 ∂ ∂ x 1 Δ x 2 ∂ ∂ x 2 ⋯ Δ x k ∂ ∂ x k ⋯ Δ x m ∂ ∂ x m ) f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) 1 2 ! ( Δ x 1 ∂ ∂ x 1 Δ x 2 ∂ ∂ x 2 ⋯ Δ x k ∂ ∂ x k ⋯ Δ x m ∂ ∂ x m ) 2 f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) ⋯ 1 n ! ( Δ x 1 ∂ ∂ x 1 Δ x 2 ∂ ∂ x 2 ⋯ Δ x k ∂ ∂ x k ⋯ Δ x m ∂ ∂ x m ) n f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) R n f\left( x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}} \right) f\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) \frac{1}{1!}\left( \varDelta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}\varDelta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}\cdots \varDelta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{k}}}\cdots \varDelta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{m}}} \right) f\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) \frac{1}{2!}\left( \varDelta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}\varDelta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}\cdots \varDelta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{k}}}\cdots \varDelta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{m}}} \right) ^2f\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) \cdots \frac{1}{n!}\left( \varDelta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}\varDelta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}\cdots \varDelta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{k}}}\cdots \varDelta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{m}}} \right) ^nf\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) R_n f(x1,x2,⋯xm)f(x10,x20,⋯xm0)1!1(Δx1∂x1∂Δx2∂x2∂⋯Δxk∂xk∂⋯Δxm∂xm∂)f(x10,x20,⋯xm0)2!1(Δx1∂x1∂Δx2∂x2∂⋯Δxk∂xk∂⋯Δxm∂xm∂)2f(x10,x20,⋯xm0)⋯n!1(Δx1∂x1∂Δx2∂x2∂⋯Δxk∂xk∂⋯Δxm∂xm∂)nf(x10,x20,⋯xm0)Rn 其中 Δ x k x k − x k 0 ( k 1 , 2 , ⋯ m ) \varDelta x_{\mathrm{k}}x_{\mathrm{k}}-x_{\mathrm{k}}^{0}\left( k1,2,\cdots m \right) Δxkxk−xk0(k1,2,⋯m) R n 1 ( n 1 ) ! ( Δ x 1 ∂ ∂ x 1 Δ x 2 ∂ ∂ x 2 ⋯ Δ x k ∂ ∂ x k ⋯ Δ x m ∂ ∂ x m ) n 1 f ( x 1 0 θ Δ x 1 , x 2 0 θ Δ x 2 , ⋯ x m 0 θ Δ x m ) R_n\frac{1}{\left( n1 \right) !}\left( \varDelta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}\varDelta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}\cdots \varDelta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{k}}}\cdots \varDelta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{m}}} \right) ^{n1}f\left( x_{1}^{0}\theta \varDelta x_1,x_{2}^{0}\theta \varDelta x_2,\cdots x_{\mathrm{m}}^{0}\theta \varDelta x_{\mathrm{m}} \right) Rn(n1)!1(Δx1∂x1∂Δx2∂x2∂⋯Δxk∂xk∂⋯Δxm∂xm∂)n1f(x10θΔx1,x20θΔx2,⋯xm0θΔxm) 上式还可以写成简洁形式 f ( x 1 , x 2 , ⋯ x m ) f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) ∑ i 0 n 1 i ! ( ∑ k 11 m Δ x k ∂ ∂ x k ) i f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) R n f\left( x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}} \right) f\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) \sum_{i0}^n{\frac{1}{i!}\left( \sum_{k11}^m{\varDelta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{k}}}} \right) ^if\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right)}R_n f(x1,x2,⋯xm)f(x10,x20,⋯xm0)∑i0ni!1(∑k11mΔxk∂xk∂)if(x10,x20,⋯xm0)Rn 当 ρ Δ x 1 2 Δ x 2 2 ⋯ Δ x m 2 → 0 \rho \sqrt{{\varDelta x_1}^2{\varDelta x_2}^2\cdots {\varDelta x_{\mathrm{m}}}^2}\rightarrow 0 ρΔx12Δx22⋯Δxm2 →0时 R n R_n Rn是一个比 ρ \rho ρ 高 n n n阶的无穷小。 多元函数的极值定理 若可导函数 f ( x 1 , x 2 , ⋯ x m ) f\left( x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}} \right) f(x1,x2,⋯xm)在定义区间内点 ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) \left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right) (x10,x20,⋯xm0)取得极值则在该点必有 ∂ f ( x 1 0 , x 2 0 , ⋯ x m 0 ) ∂ x k 0 , k 1 , 2 , ⋯ , m \frac{\partial f\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots x_{\mathrm{m}}^{0} \right)}{\partial x_{\mathrm{k}}}0,k1,2,\cdots ,m ∂xk∂f(x10,x20,⋯xm0)0,k1,2,⋯,m 1.2 含参变量的积分
设函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)是矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上的有界函数对于 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上任何固定的 y 0 y_0 y0函数 f ( x , y 0 ) f\left( x,y_0 \right) f(x,y0)就是 x x x的函数若这个函数在 [ a , b ] \left[ a,b \right] [a,b]上可积则 ∫ a b f ( x , y 0 ) d x \int_a^b{f\left( x,y_0 \right)}dx ∫abf(x,y0)dx就唯一地确定一个数这个数与 y 0 y_0 y0有关当 y 0 y_0 y0在 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上变动时所得到的积分值一般来说是不同的可表示为 φ ( y ) ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) \int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)∫abf(x,y)dx 它是 y y y的函数定义域为 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]通常称 y y y为参数它在积分过程中被看做常量并且积分 ∫ a b f ( x , y ) d x \int_a^b{f\left( x,y \right)}dx ∫abf(x,y)dx称为含参变量积分——讨论含参变量积分的连续性、可导性、可积性
1.2.1 连续性
设函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在闭区域 D [ a , b ; c , d ] D\left[ a,b;c,d \right] D[a,b;c,d]上连续则函数 φ ( y ) ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) \int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)∫abf(x,y)dx在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上连续上述性质可改写为 lim y → y 0 ∫ a b f ( x , y ) d x ∫ a b lim y → y 0 f ( x , y ) d x \underset{y\rightarrow y_0}{\lim}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx\int_a^b{\underset{y\rightarrow y_0}{\lim}f\left( x,y \right)}dx y→y0lim∫abf(x,y)dx∫aby→y0limf(x,y)dx 即极限与积分的运算次序可交换——积分号下求极限 证明待补充 1.2.2 积分顺序的可交换性
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在闭区域 D [ a , b ; c , d ] D\left[ a,b;c,d \right] D[a,b;c,d]上连续则有 ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x ∫ a b d x ∫ a b f ( x , y ) d y \int_c^d{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx\int_a^b{\mathrm{d}x}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dy ∫cddy∫abf(x,y)dx∫abdx∫abf(x,y)dy 即积分顺序可以交换——积分号下求积分 证明待补充 1.2.3 求导与积分顺序的可交换性
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)与 ∂ f ( x , y ) ∂ y \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y} ∂y∂f(x,y)在矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上连续则积分 φ ( y ) ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) \int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)∫abf(x,y)dx在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导且有 d d y ∫ a b f ( x , y ) d x ∫ a b ∂ f ( x , y ) ∂ y d x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left( x,y \right)}\mathrm{d}x\int_a^b{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}\mathrm{d}x dyd∫abf(x,y)dx∫ab∂y∂f(x,y)dx 即积分与求导次序可以交换——积分号下求微商 证明待补充 1.2.4 莱布尼茨公式
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)与 ∂ f ( x , y ) ∂ y \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y} ∂y∂f(x,y)在矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上连续又有函数 α ( y ) , β ( y ) \alpha \left( y \right) ,\beta \left( y \right) α(y),β(y)在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导且当 c ⩽ y ⩽ d c\leqslant y\leqslant d c⩽y⩽d时有 a ⩽ α ( y ) ⩽ b , a ⩽ β ( y ) ⩽ b a\leqslant \alpha \left( y \right) \leqslant b,a\leqslant \beta \left( y \right) \leqslant b a⩽α(y)⩽b,a⩽β(y)⩽b则有函数 φ ( y ) ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) \int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx φ(y)∫α(y)β(y)f(x,y)dx 在区间 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导且有 d φ ( y ) d y d d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x ∫ α ( y ) β ( y ) ∂ f ( x , y ) ∂ y d x f ( β ( y ) , y ) d β ( y ) d y − f ( α ( y ) , y ) d α ( y ) d y \frac{\mathrm{d}\varphi \left( y \right)}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}dxf\left( \beta \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\beta \left( y \right)}{\mathrm{d}y}-f\left( \alpha \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\alpha \left( y \right)}{\mathrm{d}y} dydφ(y)dyd∫α(y)β(y)f(x,y)dx∫α(y)β(y)∂y∂f(x,y)dxf(β(y),y)dydβ(y)−f(α(y),y)dydα(y) 证明 对于 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]内任何 y y y当 y y y有改变量 Δ y \varDelta y Δy时 α ( y ) , β ( y ) \alpha \left( y \right) ,\beta \left( y \right) α(y),β(y)分别有改变量 Δ α α ( y Δ y ) − α ( y ) , Δ β β ( y Δ y ) − β ( y ) \varDelta \alpha \alpha \left( y\varDelta y \right) -\alpha \left( y \right) ,\varDelta \beta \beta \left( y\varDelta y \right) -\beta \left( y \right) Δαα(yΔy)−α(y),Δββ(yΔy)−β(y)而 φ ( y ) ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) \int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx φ(y)∫α(y)β(y)f(x,y)dx有改变量 Δ φ ( y ) φ ( y Δ y ) − φ ( y ) ∫ α ( y ) Δ α β ( y ) Δ β f ( x , y Δ y ) d x − ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y Δ y ) d x ∫ β ( y ) β ( y ) Δ β f ( x , y Δ y ) d x − ∫ α ( y ) α ( y ) Δ α f ( x , y Δ y ) d x − ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x ∫ α ( y ) β ( y ) [ f ( x , y Δ y ) − f ( x , y ) ] d x ∫ β ( y ) β ( y ) Δ β f ( x , y Δ y ) d x − ∫ α ( y ) α ( y ) Δ α f ( x , y Δ y ) d x \varDelta \varphi \left( y \right) \varphi \left( y\varDelta y \right) -\varphi \left( y \right) \int_{\alpha \left( y \right) \varDelta \alpha}^{\beta \left( y \right) \varDelta \beta}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx-\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx \\ \int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx\int_{\beta \left( y \right)}^{\beta \left( y \right) \varDelta \beta}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx-\int_{\alpha \left( y \right)}^{\alpha \left( y \right) \varDelta \alpha}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx-\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx \\ \int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\left[ f\left( x,y\varDelta y \right) -f\left( x,y \right) \right]}dx\int_{\beta \left( y \right)}^{\beta \left( y \right) \varDelta \beta}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx-\int_{\alpha \left( y \right)}^{\alpha \left( y \right) \varDelta \alpha}{f\left( x,y\varDelta y \right)}dx Δφ(y)φ(yΔy)−φ(y)∫α(y)Δαβ(y)Δβf(x,yΔy)dx−∫α(y)β(y)f(x,y)dx∫α(y)β(y)f(x,yΔy)dx∫β(y)β(y)Δβf(x,yΔy)dx−∫α(y)α(y)Δαf(x,yΔy)dx−∫α(y)β(y)f(x,y)dx∫α(y)β(y)[f(x,yΔy)−f(x,y)]dx∫β(y)β(y)Δβf(x,yΔy)dx−∫α(y)α(y)Δαf(x,yΔy)dx 进而推导出中值定理 Δ φ ( y ) Δ y ∫ α ( y ) β ( y ) [ f ( x , y Δ y ) − f ( x , y ) ] Δ y d x f ( β ˉ ( y ) , y Δ y ) Δ β ( y ) Δ y − f ( α ˉ ( y ) , y Δ y ) Δ α ( y ) Δ y \frac{\varDelta \varphi \left( y \right)}{\varDelta y}\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\left[ f\left( x,y\varDelta y \right) -f\left( x,y \right) \right]}{\varDelta y}}dxf\left( \bar{\beta}\left( y \right) ,y\varDelta y \right) \frac{\varDelta \beta \left( y \right)}{\varDelta y}-f\left( \bar{\alpha}\left( y \right) ,y\varDelta y \right) \frac{\varDelta \alpha \left( y \right)}{\varDelta y} ΔyΔφ(y)∫α(y)β(y)Δy[f(x,yΔy)−f(x,y)]dxf(βˉ(y),yΔy)ΔyΔβ(y)−f(αˉ(y),yΔy)ΔyΔα(y) 根据上述连续性与可导性得 lim Δ y → 0 f ( β ˉ ( y ) , y Δ y ) Δ β ( y ) Δ y f ( β ( y ) , y ) d β ( y ) d y lim Δ y → 0 f ( α ˉ ( y ) , y Δ y ) Δ α ( y ) Δ y f ( α ( y ) , y ) d α ( y ) d y \underset{\varDelta y\rightarrow 0}{\lim}f\left( \bar{\beta}\left( y \right) ,y\varDelta y \right) \frac{\varDelta \beta \left( y \right)}{\varDelta y}f\left( \beta \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\beta \left( y \right)}{\mathrm{d}y} \\ \underset{\varDelta y\rightarrow 0}{\lim}f\left( \bar{\alpha}\left( y \right) ,y\varDelta y \right) \frac{\varDelta \alpha \left( y \right)}{\varDelta y}f\left( \alpha \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\alpha \left( y \right)}{\mathrm{d}y} Δy→0limf(βˉ(y),yΔy)ΔyΔβ(y)f(β(y),y)dydβ(y)Δy→0limf(αˉ(y),yΔy)ΔyΔα(y)f(α(y),y)dydα(y) 且有 lim Δ y → 0 ∫ α ( y ) β ( y ) [ f ( x , y Δ y ) − f ( x , y ) ] Δ y d x ∫ α ( y ) β ( y ) ∂ f ( x , y ) ∂ y d x \underset{\varDelta y\rightarrow 0}{\lim}\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\left[ f\left( x,y\varDelta y \right) -f\left( x,y \right) \right]}{\varDelta y}}\mathrm{d}x\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}\mathrm{d}x Δy→0lim∫α(y)β(y)Δy[f(x,yΔy)−f(x,y)]dx∫α(y)β(y)∂y∂f(x,y)dx 因此求得 d φ ( y ) d y d d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x ∫ α ( y ) β ( y ) ∂ f ( x , y ) ∂ y d x f ( β ( y ) , y ) d β ( y ) d y − f ( α ( y ) , y ) d α ( y ) d y \frac{\mathrm{d}\varphi \left( y \right)}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}dxf\left( \beta \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\beta \left( y \right)}{\mathrm{d}y}-f\left( \alpha \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\alpha \left( y \right)}{\mathrm{d}y} dydφ(y)dyd∫α(y)β(y)f(x,y)dx∫α(y)β(y)∂y∂f(x,y)dxf(β(y),y)dydβ(y)−f(α(y),y)dydα(y) 1.3 场论基础
场是现实世界中的物理量与空间和时间关系的一种表现形式它是物质存在的一种形态。如果在空间中某个区域内的每一点都对应着某物理量的一个确定的值则在此空间区域内称为存在着该物理量的场。
某物理量在场内的分布可表示为空间位置的函数这样的函数称为该物理量的点函数。当然物理量在场内还可能随时间变化而变化因而点函数还可以与时间有关。
如果一个物理量具有数量的性质那么这个物理量所形成的场就称为数量场或标量场。如果一个物理量具有向量的性质那么这个物理量所形成的场就称为向量场或矢量场。如果一个物理量具有张量的性质那么这个物理量所形成的场就称为张量场。
在物理量的场中取值为数量的函数称为数量函数或标量函数取值为向量的函数称为向量函数或矢量函数取值为张量的函数称为张量函数。点函数、数量函数、向量函数和张量函数都可简称函数。
1.3.1 方向导数与梯度
具有大小和方向的量称为向量或矢量。向量大小的数值称为向量的长度或向量的模。向量 a ⃗ \vec{a} a 的模用 ∣ a ⃗ ∣ \left| \vec{a} \right| ∣a ∣来表示。模等于1的向量称为单位向量或单位矢(量)。模等于零的向量称为零向量或零矢量记作 0 ⃗ \vec{0} 0 。
函数 φ φ ( M ) φ ( x , y , z ) \varphi \varphi \left( M \right) \varphi \left( x,y,z \right) φφ(M)φ(x,y,z)的一阶偏导数 ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z \frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z} ∂x∂φ,∂y∂φ,∂z∂φ分别表示它在点 M M M沿 x , y , z x,y,z x,y,z轴三个特殊方向上的变化率。然而在许多问题中函数 φ φ ( x , y , z ) \varphi \varphi \left( x,y,z \right) φφ(x,y,z) 沿其他方向的变化率也是有实际意义的因此有必要研究它在其他方向的导数。
设 M 0 M_0 M0是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)中一个确定的点过此点引一条直线 L L L,在此直线上取与 M 0 M_0 M0相邻的一动点 M M M,点 M 0 M_0 M0到点 M M M的距离为 M 0 M ‾ \overline{M_0M} M0M,当 M → M 0 M\rightarrow M_0 M→M0时若比 φ ( M ) − φ ( M 0 ) M 0 M ‾ \frac{\varphi \left( M \right) -\varphi \left( M_0 \right)}{\overline{M_0M}} M0Mφ(M)−φ(M0)的极限存在则它称为函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在点 M 0 M_0 M0沿着 L L L方向的方向导数并且记作: ∂ φ ( M 0 ) ∂ L lim M 0 M ‾ → 0 φ ( M ) − φ ( M 0 ) M 0 M ‾ \frac{\partial \varphi \left( M_0 \right)}{\partial L}\lim_{\overline{M_0M}\rightarrow 0} \frac{\varphi \left( M \right) -\varphi \left( M_0 \right)}{\overline{M_0M}} ∂L∂φ(M0)M0M→0limM0Mφ(M)−φ(M0)
由此可见方向导数是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在某个给定点沿某方向对距离的变化率。当 ∂ φ ∂ L 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}0 ∂L∂φ0时函数 φ \varphi φ 沿 L L L方向增加当 ∂ φ ∂ L 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}0 ∂L∂φ0时函数 φ \varphi φ沿 L L L方向减少当 ∂ φ ∂ L 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}0 ∂L∂φ0,函数 φ \varphi φ 沿 L L L方向无变化。
过点 M 0 M_0 M0可取无穷多个方向每个方向都有与之对应的方向导数。在直角坐标系中可按下面定理给出的公式计算方向导数。 定理: 若数量场 φ φ ( x , y , z ) \varphi \varphi \left( x,y,z \right) φφ(x,y,z) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) M0(x0,y0,z0)处可微 cos α , cos β , cos γ \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma cosα,cosβ,cosγ 为 L L L方向的方向余弦则 φ \varphi φ 在点 M 0 M_0 M0处沿 L L L方向的方向导数必存在且由下面公式给出 ∂ φ ∂ L ∂ φ ∂ x cos α ∂ φ ∂ y cos β ∂ φ ∂ z cos γ \frac{\partial \varphi}{\partial L}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\cos \alpha \frac{\partial \varphi}{\partial y}\cos \beta \frac{\partial \varphi}{\partial z}\cos \gamma ∂L∂φ∂x∂φcosα∂y∂φcosβ∂z∂φcosγ 式中 ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z \frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z} ∂x∂φ,∂y∂φ,∂z∂φ为数 φ \varphi φ在点 M 0 M_0 M0处的各偏导数。 证明待补充 上式同时可以表示为两个向量的数量积即 ∂ φ ∂ L ( ∂ φ ∂ x i ⃗ ∂ φ ∂ y j ⃗ ∂ φ ∂ z k ⃗ ) ⋅ ( cos α i ⃗ cos β j ⃗ cos γ k ⃗ ) \frac{\partial \varphi}{\partial L}\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} \right) \cdot \left( \cos \alpha \vec{i}\cos \beta \vec{j}\cos \gamma \vec{k} \right) ∂L∂φ(∂x∂φi ∂y∂φj ∂z∂φk )⋅(cosαi cosβj cosγk ) 令 L 0 L_0 L0为 L L L的单位向量与函数 φ \varphi φ无关 L ⃗ 0 cos α i ⃗ cos β j ⃗ cos γ k ⃗ \vec{L}_0\cos \alpha \vec{i}\cos \beta \vec{j}\cos \gamma \vec{k} L 0cosαi cosβj cosγk 令向量 G G G为给定点的固定向量只与函数 φ \varphi φ有关 G ⃗ ∂ φ ∂ x i ⃗ ∂ φ ∂ y j ⃗ ∂ φ ∂ z k ⃗ \vec{G}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} G ∂x∂φi ∂y∂φj ∂z∂φk
进而将上式表示为 ∂ φ ∂ L G ⃗ ⋅ L ⃗ 0 ∣ G ⃗ ∣ cos ( G ⃗ , L ⃗ 0 ) \frac{\partial \varphi}{\partial L}\vec{G}\cdot \vec{L}_0\left| \vec{G} \right|\cos \left( \vec{G},\vec{L}_0 \right) ∂L∂φG ⋅L 0 G cos(G ,L 0)
可知向量 G ⃗ \vec{G} G 在 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0方向的投影等于函数 φ \varphi φ在该方向的方向导数。更为重要的是当选择 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0的方向与 G ⃗ \vec{G} G 方向一致时即 cos ( G ⃗ , L ⃗ 0 ) 1 \cos \left( \vec{G},\vec{L}_0 \right) 1 cos(G ,L 0)1时方向导数取得最大值 ∣ G ⃗ ∣ \left| \vec{G} \right| G ,因此 G ⃗ \vec{G} G 方向就是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M) 变化率最大的方向。向量 G ⃗ \vec{G} G 称为函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在给定点 M M M处的梯度记作 g r a d φ G ⃗ \mathrm{grad}\varphi \vec{G} gradφG 或 ∇ φ G ⃗ \nabla \varphi \vec{G} ∇φG grad是英文gradient的缩写意为梯度记号▽形如古希伯莱的一种乐器纳布拉(nabla),称为哈密顿算子、纳布拉算子或 ∇ \nabla ∇算子 (读作nabla算子),有时也称为 Del算子。在直角坐标系中它可表示为 ∇ i ⃗ ∂ ∂ x j ⃗ ∂ ∂ y k ⃗ ∂ ∂ z ∂ ∂ x i ⃗ ∂ ∂ y j ⃗ ∂ ∂ z k ⃗ \nabla \vec{i}\frac{\partial}{\partial x}\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}\frac{\partial}{\partial z}\vec{k} ∇i ∂x∂j ∂y∂k ∂z∂∂x∂i ∂y∂j ∂z∂k 或 ∇ e ⃗ 1 ∂ ∂ x 1 e ⃗ 2 ∂ ∂ x 2 e ⃗ 3 ∂ ∂ x 3 \nabla \vec{e}_1\frac{\partial}{\partial x_1}\vec{e}_2\frac{\partial}{\partial x_2}\vec{e}_3\frac{\partial}{\partial x_3} ∇e 1∂x1∂e 2∂x2∂e 3∂x3∂ 式中 e ⃗ 1 i ⃗ , e ⃗ 2 j ⃗ , e ⃗ 3 k ⃗ , x 1 x , x 2 y , x 3 z \vec{e}_1\vec{i},\vec{e}_2\vec{j},\vec{e}_3\vec{k},x_1x,x_2y,x_3z e 1i ,e 2j ,e 3k ,x1x,x2y,x3z i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i},\vec{j},\vec{k} i ,j ,k 或 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 e 1,e 2,e 3称为沿着直角坐标(系)的单位基向量或单位基矢量简称单位向量或单位矢量。 ∇ \nabla ∇既是一个微分算子又可以看作一个向量具有向量和微分的双重性质故它称为向量微分算子或矢量微分算子。于是梯度可表示为 g r a d φ ∇ φ G ⃗ ∂ φ ∂ x i ⃗ ∂ φ ∂ y j ⃗ ∂ φ ∂ z k ⃗ \mathrm{grad}\varphi \nabla \varphi \vec{G}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} gradφ∇φG ∂x∂φi ∂y∂φj ∂z∂φk 可见一个标量函数 φ \varphi φ的梯度是一个向量函数。
梯度的模为 ∣ g r a d φ ∣ ∣ ∇ φ ∣ ∣ G ⃗ ∣ ( ∂ φ ∂ x ) 2 ( ∂ φ ∂ y ) 2 ( ∂ φ ∂ z ) 2 \left| \mathrm{grad}\varphi \right|\left| \nabla \varphi \right|\left| \vec{G} \right|\sqrt{\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right) ^2\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) ^2\left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) ^2} ∣gradφ∣∣∇φ∣ G (∂x∂φ)2(∂y∂φ)2(∂z∂φ)2 梯度的运算性质 设 c c c为常数 φ 、 ψ 、 f ( φ ) 、 f ( ψ ) \varphi \text{、}\psi \text{、}f\left( \varphi \right) \text{、}f\left( \psi \right) φ、ψ、f(φ)、f(ψ)都是点 M M M的标量函数 r ⃗ \vec{r} r 是任意矢径 r r r是 r ⃗ \vec{r} r 的模 r ⃗ 0 \vec{r}_0 r 0是 r ⃗ \vec{r} r 的单位向量则梯度运算基本公式如下 ∇ c 0 ∇ ( φ ± ψ ) ∇ φ ± ∇ ψ ∇ ( c φ ) c ∇ φ ∇ ( φ ψ ) ψ ∇ φ φ ∇ ψ ∇ ( φ ψ ) ψ ∇ φ − φ ∇ ψ ψ 2 ∇ f ( φ ) f ′ ( φ ) ∇ φ ∇ f ( r ) f ′ ( r ) ∇ r f ′ ( r ) r ⃗ r f ′ ( r ) r ⃗ 0 \nabla c0 \\ \nabla \left( \varphi \pm \psi \right) \nabla \varphi \pm \nabla \psi \\ \nabla \left( c\varphi \right) c\nabla \varphi \\ \nabla \left( \varphi \psi \right) \psi \nabla \varphi \varphi \nabla \psi \\ \nabla \left( \frac{\varphi}{\psi} \right) \frac{\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi}{\psi ^2} \\ \nabla f\left( \varphi \right) f\prime\left( \varphi \right) \nabla \varphi \\ \nabla f\left( r \right) f\prime\left( r \right) \nabla rf\prime\left( r \right) \frac{\vec{r}}{r}f\prime\left( r \right) \vec{r}_0 ∇c0∇(φ±ψ)∇φ±∇ψ∇(cφ)c∇φ∇(φψ)ψ∇φφ∇ψ∇(ψφ)ψ2ψ∇φ−φ∇ψ∇f(φ)f′(φ)∇φ∇f(r)f′(r)∇rf′(r)rr f′(r)r 0 证明待补充 进一步可知 ∇ f ( n ) ( r ) f ( n 1 ) ( r ) ∇ r ∂ φ ∂ L g r a d φ ⋅ L ⃗ 0 ∇ φ ⋅ L ⃗ 0 \nabla f^{\left( n \right)}\left( r \right) f^{\left( n1 \right)}\left( r \right) \nabla r \\ \frac{\partial \varphi}{\partial L}\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{L}_0\nabla \varphi \cdot \vec{L}_0 ∇f(n)(r)f(n1)(r)∇r∂L∂φgradφ⋅L 0∇φ⋅L 0 上式表明函数 φ \varphi φ沿 L L L方向的导数等于φ的梯度与L方向的单位向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0的数量积。
若函数 φ ( x , y , z ) C \varphi \left( x,y,z \right) C φ(x,y,z)C,则该式称为等值面方程它表示一族曲面与常数 C C C对应的每个值都表示一个曲面。在每个曲面上的各点虽然坐标值不同但函数值却相等这些曲面称为函数 φ \varphi φ的等值面。同理若函数 ψ ( x , y ) C \psi \left( x,y \right) C ψ(x,y)C,则该式称为等值线方程它表示一族曲线与常数 C C C对应的每个值都表示一条曲线这些曲线称为函数 ψ \psi ψ的等值线。因为函数 φ \varphi φ沿其等值面保持不变所以当向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0在函数 φ \varphi φ的等值面上时或者说向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0是等值面的切线时有 ∂ φ ∂ L g r a d φ ⋅ L ⃗ 0 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{L}_00 ∂L∂φgradφ⋅L 00 即在切线方向上函数 φ \varphi φ的方向导数为零这表明梯度向量 g r a d φ \mathrm{grad}\varphi gradφ与等值面的法线重合。由于函数 φ \varphi φ沿着梯度向量的方向增加得最快故可知梯度向量指向函数 φ \varphi φ增加的方向即函数 φ \varphi φ的等值面的法线方向用 N ⃗ \vec{N} N 表示法线方向。法线方向上的单位向量称为单位法线向量或单位法向量通常用 n ⃗ \vec{n} n 来表示单位法向量。因为任意一个向量都可以表示为该向量的模乘以与该向量方向相同的单位向量所以,函数 φ \varphi φ的等值面的单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 可表示为 n ⃗ G ⃗ ∣ G ⃗ ∣ g r a d φ ∣ g r a d φ ∣ ∇ φ ∣ ∇ φ ∣ \vec{n}\frac{\vec{G}}{\left| \vec{G} \right|}\frac{\mathrm{grad}\varphi}{\left| \mathrm{grad}\varphi \right|}\frac{\nabla \varphi}{\left| \nabla \varphi \right|} n G G ∣gradφ∣gradφ∣∇φ∣∇φ 函数 φ \varphi φ的等值面的单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 还可表示为 n ⃗ cos ( N ⃗ , i ⃗ ) i ⃗ cos ( N ⃗ , j ⃗ ) j ⃗ cos ( N ⃗ , k ⃗ ) k ⃗ cos α i ⃗ cos β j ⃗ cos γ k ⃗ l i ⃗ m j ⃗ n k ⃗ e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 n x i ⃗ n y j ⃗ n z k ⃗ n x e ⃗ 1 n y , e ⃗ 2 n z e ⃗ 3 \vec{n}\cos \left( \vec{N},\vec{i} \right) \vec{i}\cos \left( \vec{N},\vec{j} \right) \vec{j}\cos \left( \vec{N},\vec{k} \right) \vec{k} \\ \cos \alpha \vec{i}\cos \beta \vec{j}\cos \gamma \vec{k}l\vec{i}m\vec{j}n\vec{k}\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 \\ n_x\vec{i}n_{\mathrm{y}}\vec{j}n_{\mathrm{z}}\vec{k}n_x\vec{e}_1n_{\mathrm{y}},\vec{e}_2n_{\mathrm{z}}\vec{e}_3 n cos(N ,i )i cos(N ,j )j cos(N ,k )k cosαi cosβj cosγk li mj nk e 1,e 2,e 3nxi nyj nzk nxe 1ny,e 2nze 3
式中 α , β , γ \alpha ,\beta ,\gamma α,β,γ为 φ \varphi φ的等值面的法向向量与三个坐标轴的夹角—— l n 1 n x cos α 、 m n 2 n y cos β 、 n n 3 n z cos γ ln_1n_x\cos \alpha \text{、}mn_2n_y\cos \beta \text{、}nn_3n_z\cos \gamma ln1nxcosα、mn2nycosβ、nn3nzcosγ分别为单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 的三个方向余弦
单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 的模可表示为 ∣ n ⃗ ∣ cos 2 ( N ⃗ , x ) cos 2 ( N ⃗ , y ) cos 2 ( N ⃗ , z ) \left| \vec{n} \right|\sqrt{\cos ^2\left( \vec{N},x \right) \cos ^2\left( \vec{N},y \right) \cos ^2\left( \vec{N},z \right)} ∣n ∣cos2(N ,x)cos2(N ,y)cos2(N ,z)
如果用不用的形式来表示则函数 φ \varphi φ沿 N ⃗ \vec{N} N 方向的导数可写成下面诸形式 ∂ φ ∂ N ⃗ G ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ G ⃗ ∣ cos ( G ⃗ , n ⃗ ) ∣ G ⃗ ∣ g r a d φ ⋅ n ⃗ ∇ φ ⋅ n ⃗ ∣ g r a d φ ∣ n ⃗ ⋅ n ⃗ g r a d φ ⋅ g r a d φ ∣ g r a d φ ∣ ∇ φ ⋅ ∇ φ ∣ ∇ φ ∣ ∣ g r a d φ ∣ ∇ φ \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}\vec{G}\cdot \vec{n}\left| \vec{G} \right|\cos \left( \vec{G},\vec{n} \right) \left| \vec{G} \right|\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{n}\nabla \varphi \cdot \vec{n} \\ \left| \mathrm{grad}\varphi \right|\vec{n}\cdot \vec{n}\frac{\mathrm{grad}\varphi \cdot \mathrm{grad}\varphi}{\left| \mathrm{grad}\varphi \right|}\frac{\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi}{\left| \nabla \varphi \right|}\left| \mathrm{grad}\varphi \right|\nabla \varphi ∂N ∂φG ⋅n G cos(G ,n ) G gradφ⋅n ∇φ⋅n ∣gradφ∣n ⋅n ∣gradφ∣gradφ⋅gradφ∣∇φ∣∇φ⋅∇φ∣gradφ∣∇φ
函数 φ \varphi φ沿梯度方向的方向导数恒大于等于零即梯度总是指向函数 φ \varphi φ增大的方向。显然有 cos ( G ⃗ , n ⃗ ) cos 0 1 \cos \left( \vec{G},\vec{n} \right) \cos 01 cos(G ,n )cos01,即 φ \varphi φ的梯度方向与 φ \varphi φ的等值面的法向方向相同。在直角坐标系中函数 φ \varphi φ沿 N ⃗ \vec{N} N 方向的方向导数还可写成如下形式 ∂ φ ∂ N ⃗ ∇ φ ⋅ n ⃗ ∂ φ ∂ x n x ∂ φ ∂ y n y ∂ φ ∂ z n z ∣ ∇ φ ∣ ( ∂ φ ∂ x ) 2 ( ∂ φ ∂ y ) 2 ( ∂ φ ∂ z ) 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}\nabla \varphi \cdot \vec{n}\frac{\partial \varphi}{\partial x}n_{\mathrm{x}}\frac{\partial \varphi}{\partial y}n_{\mathrm{y}}\frac{\partial \varphi}{\partial z}n_{\mathrm{z}}\left| \nabla \varphi \right|\sqrt{\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right) ^2\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) ^2\left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) ^2} ∂N ∂φ∇φ⋅n ∂x∂φnx∂y∂φny∂z∂φnz∣∇φ∣(∂x∂φ)2(∂y∂φ)2(∂z∂φ)2 进而可得 g r a d φ ∇ φ ∂ φ ∂ N ⃗ n ⃗ \mathrm{grad}\varphi \nabla \varphi \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}\vec{n} gradφ∇φ∂N ∂φn 且有 ∂ ∂ N ⃗ n ⃗ ⋅ ∇ l ∂ ∂ x m ∂ ∂ y n ∂ ∂ z n x ∂ ∂ x n y ∂ ∂ y n z ∂ ∂ z \frac{\partial}{\partial \vec{N}}\vec{n}\cdot \nabla l\frac{\partial}{\partial x}m\frac{\partial}{\partial y}n\frac{\partial}{\partial z}n_{\mathrm{x}}\frac{\partial}{\partial x}n_{\mathrm{y}}\frac{\partial}{\partial y}n_{\mathrm{z}}\frac{\partial}{\partial z} ∂N ∂n ⋅∇l∂x∂m∂y∂n∂z∂nx∂x∂ny∂y∂nz∂z∂ 其中 ∂ ∂ N ⃗ \frac{\partial}{\partial \vec{N}} ∂N ∂称为微分算子
把数量场中每一点的梯度与该数量场中的各点对应起来就得到一个向量场这个向量场称为由该数量场产生的梯度场。 设有向量场 a ⃗ \vec{a} a ,若存在单值函数 φ \varphi φ 满足 a ⃗ ∇ φ \vec{a}\nabla \varphi a ∇φ ,则向量场 a ⃗ \vec{a} a 称为有势场。 φ \varphi φ称为有势场 a ⃗ \vec{a} a 的标量位势简称标(量)势。若函数 ψ − φ \psi -\varphi ψ−φ ,则 ψ \psi ψ 称为有势场 a ⃗ \vec{a} a 的势函数或位函数可见有势场 a ⃗ \vec{a} a 与势函数 ψ \psi ψ的关系为 a ⃗ − ∇ ψ \vec{a}-\nabla \psi a −∇ψ 有势场是一个梯度场它有无穷多个势函数这些势函数之间只差一个常数。
